PDF-версии: 
Три точки А, В и С разбивают окружность на три дуги. Каждая из дуг разбивается на три равные части так, что на окружности последовательно стоят точки А, А1, А2, В, В1, В2, С, С1, С2.
А) Докажите, что точки пересечения прямых А1В2, В1С2 и С1А2 образуют равносторонний треугольник.
Б) Найдите стороны этого треугольника, если АС = 1, ВС = 2, 
Решение. а) Пусть B1C2 и A1B2 пересекаются в точке K, A1B2 и A2C1 пересекаются в точке D, B1C2 и A2C1 пересекаются в точке E. По теореме о внешнем угле
так как сумма вписанных углов равна половине суммы третей дуг AB, BC, AC, то есть 
Аналогично вычисляются и углы KDE и KED. Таким образом, все углы треугольника KDE равны между собой. Поэтому он равносторонний.
Примечание:можно было и сразу воспользоваться тем, что угол между хордами равен полусумме дуг, высекаемых этими хордами.
б) Заметим, что треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой BC, причем BC = 2AB, поэтому 
Отсюда ясно, что диаметр окружности равен 2, а радиус 1. Таким образом, дуга BA равна 60°, дуга AC = 120°, дуга CB — полуокружность (обозначим центр окружности через O). Отсюда легко определяются все дуги, на которые 9 точек делят окружность. Сделаем дополнительное построение, проведя диаметр GH, где G — середина дуги AC2. Заметим, что хорда A2C1 опирается на угол 120°, значит, она равна 
Кроме того эта хорда перпендикулярна диаметру GH, поэтому она делится им пополам (точку пересечения хорды и диаметра обозначим M). Заметим еще, что B2KC2 — равнобедренный треугольник (углы при его основании опираются на равные дуги), причем B2C2 параллельно HG. Поэтому KO и GH перпендикулярны. Наконец, заметим, что OA2GC1 — ромб. Рассмотрим теперь прямоугольную трапецию KOMD. В ней боковая сторона OM равна 0,5, а острый угол равен 60°. Тогда вторая боковая сторона (KD) равна 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |