Тип Д10 C2 № 555266 
Сложная стереометрия. Многогранники
i
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды SABCD (S — вершина, BD — диагональ основания) образует угол 45° c плоскостью основания, сторона которого равна 4. Через среднюю линию треугольника ABD, не пересекающую BD и середину высоты пирамиды, проведена плоскость α.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью α и докажите, что плоскость α перпендикулярна ребру SC.
б) Найдите объем пирамиды SKLM, где K, L и M точки пересечения плоскости α соответственно с ребрами SB, SD и SC.
Решение. 
а) Пусть Р и Q середины АВ и AD, соответственно. Плоскость α пересекает основание ABCD по отрезку PQ. Отрезки PQ и BD параллельны, следовательно, плоскость α параллельна BD. Таким образом, вместе с Н — серединой высоты SO, плоскость α содержит и KL — среднюю L линию треугольника SBD. Плоскость α пересекает грани SAB и SAD по отрезкам РК и QL, соответственно. Пусть G — точка пересечения PQ с диагональю АС. Тогда точки G и Н одновременно лежат в плоскости α и в плоскости SAC, то есть прямая GH — линия пересечения плоскости α плоскостью SAC. Прямая GH пересекает ребро SC в точке М, следовательно, М — точка пересечения плоскости α с ребром SC и плоскость α пересекает грани SBC и SDC по отрезкам КМ и LM, соответственно. Сечение PKMLQ — построено.
б) Заметим, что углы SAC и SCA равны 45°, как углы между боковыми ребрами и основанием ABCD. Следовательно, треугольник SAC — равнобедренный прямоугольный, при этом гипотенуза 
значит, отрезки SА, SC, SB и SD равны 4, боковые грани пирамиды — равносторонние треугольники. Так как G — середина АО, а Н — середина SO, то GH — средняя линия треугольника SAO, следовательно, отрезки MG и SA параллельны. Треугольник MGC подобен треугольнику SAC, при этом
откуда отрезки GM и МС равны 3, SM равен 1. Заметим, что РК — средняя линия треугольника SAB, следовательно, отрезки GH и РК равны 2, и НМ = GM − GH = 1. Отрезок 
как средняя линия треугольника SBD. Заметим, что ребро SC перпендикулярно плоскости α, так как SC перпендикулярно MG и SC перпендикулярно LK (так как лежит в плоскости SAC). Таким образом, SM — высота пирамиды SKLM, следовательно,
Ответ: 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) | 2 |
| Выполнен только один из пунктов — а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: 
PDF-версии: