PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
будет иметь ровно 3 решения.
Решение. Преобразуем первое уравнение системы:
Преобразуем второе уравнение системы:
При 
первое уравнение исходной системы не имеет решений, а значит, и вся система не имеет решений. Поэтому умножение второго уравнения на 
не приводит к появлению посторонних корней. Следовательно, исходная система равносильна системе
Решим задачу графо-аналитическим методом. Построим график первого уравнения. При 
и 
уравнение принимает вид 
то есть является уравнением окружности с центром в точке 
и радиусом 
Таким образом, при и графиком первого уравнения является дуга окружности и точка 
(см. ниже, рис. слева). Отражая построенную дугу относительно оси ординат, а затем обе полученные дуги относительно оси абсцисс, получаем график первого уравнения системы (см. ниже, рис. справа).
Графиком уравнения 
является пучок прямых, проходящих через точку 
Количество решений исходной системы совпадает с количеством точек пересечения графиков ее уравнений. Тем самым (см. рис.) исходная система может не иметь решений, либо иметь одно, два, три или четыре решения.
Система имеет ровно три решения в следующих случаях:
— при 
если прямая проходит через точку (выделено пурпурным),
— при 
если прямая проходит через точку 
или при 
если прямая проходит через точку 
(выделено зелёным),
— при 
или 
если прямая касается графика первого уравнения в первой координатной четверти (выделено красным). Заметим, что прямая, проходящая через точку 
не может касаться графика первого уравнения в третьей координатной четверти, поэтому другие случаи невозможны. Найдём соответствующие значения параметра.
Очевидно, 
Найдём 
подставив координаты точки 
Найдём 
подставив координаты точки 
Значения 
и 
найдём, воспользовавшись формулой расстояния от точки до прямой 
которое равно радиусу Получаем:
Значит, 
и 
Таким образом, система имеет ровно три решения при 
или 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |