PDF-версии: 
Хорды АС и BD пересекаются в точке Т. На хорде ВС отложен отрезок СР, равный AD. Точки Р и D равноудалены от хорды АС, а отрезок ТР перпендикулярен хорде ВС.
а) Докажите, что площади четырехугольников ABPD и APCD равны.
б) Найдите эти площади, если площадь треугольника ATD равна трем.
Решение. а) Проведем
— перпендикуляр из точки P к хорде AC и DH2 — перпендикуляр из точки D к прямой AC. По условию AD = PC, DH2 = PH1, следовательно, треугольники ADH2 и СPH1 равны. Тогда углы DAT и PCT равны. Таким образом, прямые AD и BC параллельны, а четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция. Следовательно, треугольник BTC равнобедренный, поэтому TP — его медиана, а значит, BP = PC. Площади четырехугольников ABPD и APCD равны, так как это равные параллелограммы. Что и требовалось доказать.
б) Из отношения 
получим, что треугольники BTC и ATD подобны с коэффициентом 2 : 1, значит,
Таким образом, SBTC = 12.
Из подобия следует, что 
Из отношения 
найдем, что 
Вычислим площадь трапеции ABCD:
Заметим теперь, что 
где h — высота трапеции. Поскольку
находим: 
Ответ: б)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |