PDF-версии: 
Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Плоскость α параллельна прямой АС, проходит через точку В и середину высоты пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро SD в отношении 2 : 1, считая от точки D.
б) Найдите синус угла между плоскостью α и плоскостью ASC, если угол SAC равен 30°.
Решение. а) Пусть K — середина высоты пирамиды SO. Прямая BK лежит в плоскости α и в плоскости SBD, содержащей высоту SO. Тогда точка L является точкой пересечения BK с SD и плоскости α и SD. По теореме Менелая для треугольника SDO и прямой BL имеем:
откуда
б) Проведем через точку K среднюю линию MN треугольника SAC. Прямая MN параллельна AC, следовательно, лежит в плоскости. Таким образом, MN — линия пересечения плоскости α и плоскости ASC. Очевидно, что треугольник BMN — равнобедренный, следовательно, отрезки BK и MN взаимно перпендикулярны. Прямые SO и AC перпендикулярны, следовательно, прямые SO и MN также взаимно перпендикулярны. Таким образом, угол BKO является линейным углом искомого угла между плоскостью α и плоскостью ASC. Обозначим высоту пирамиды SO = 2h. Тогда 
Далее находим,
Тогда
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |