РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.

а)  Существуют ли десять последовательных четырёхзначных чисел, среди которых есть два очень счастливых?

б)  Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2015?

в)  Найдите наименьшее натуральное число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.

Решение. а)  Примером таких чисел являются 3012, 3013, …, 3021. Первое и последнее из них являются очень счастливыми.

б)  Предположим, что это возможно. Пусть $\overlineabcd$   — десятичная запись меньшего из этих двух очень счастливых чисел, а $\overlineklmn$   — десятичная запись большего из них. Из условия следует, что либо $10c плюс d плюс 15=10m плюс n,$ либо $10c плюс d плюс 15=100 плюс 10m плюс n.$ Отсюда получаем, что либо $левая круглая скобка m плюс n правая круглая скобка минус левая круглая скобка c плюс d правая круглая скобка =9 левая круглая скобка c минус m плюс 1 правая круглая скобка плюс 6,$ либо $левая круглая скобка m плюс n правая круглая скобка минус левая круглая скобка c плюс d правая круглая скобка =9 левая круглая скобка c минус m минус 10 правая круглая скобка плюс 5.$ Значит, число $левая круглая скобка m плюс n правая круглая скобка минус левая круглая скобка c плюс d правая круглая скобка$ даёт при делении на 9 или остаток 6, или остаток 5.

Также из условия следует, что либо $1000a плюс 100b плюс 2000=1000k плюс 100l,$ либо $1000a плюс 100b плюс 2100=1000k плюс 100l.$ Отсюда получаем, что либо $левая круглая скобка k плюс l правая круглая скобка минус левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка =9 левая круглая скобка a минус k плюс 2 правая круглая скобка плюс 2,$ либо $левая круглая скобка k плюс l правая круглая скобка минус левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка =9 левая круглая скобка a минус k плюс 2 правая круглая скобка плюс 3.$ Значит, число $левая круглая скобка k плюс l правая круглая скобка минус левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка$ даёт при делении на 9 или остаток 2, или остаток 3.

Приходим к противоречию, так как по условию $левая круглая скобка k плюс l правая круглая скобка минус левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка = левая круглая скобка m плюс n правая круглая скобка минус левая круглая скобка c плюс d правая круглая скобка .$

в)  Покажем, что искомое число равно 11. Для этого сначала приведём примеры очень счастливых четырёхзначных чисел, кратных 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10: число 2680 кратно 1, 2, 4, 5, 8 и 10; число 1890 кратно 3, 6, 7 и 9.

Пусть $\overlineabcd$   — десятичная запись какого-либо очень счастливого числа, кратного 11. Тогда

$\overlineabcd=1000a плюс 100b плюс 10c плюс d=11 левая круглая скобка 91a плюс 9b плюс c правая круглая скобка плюс левая круглая скобка b минус a плюс d минус c правая круглая скобка .$

Получаем, что число $b минус a плюс d минус c$ кратно 11. Поскольку a, b, c и d  — цифры, отсюда следует, что либо $b минус a плюс d минус c=0,$ либо $b минус a плюс d минус c=11,$ либо $b минус a плюс d минус c= минус 11.$

В первом случае имеем $a плюс b=c плюс d$ и $a плюс c=b плюс d.$ Вычитая эти равенства, получаем $b минус c=c минус b,$ т. е. $b=c,$   — противоречие. Во втором случае имеем $a плюс b=c плюс d$ и $a плюс c плюс 11=b плюс d.$ Вычитая эти равенства, получаем $b минус c минус 11=c минус b,$ т. е. $2 левая круглая скобка b минус c правая круглая скобка =11,$   — тоже противоречие, так как 11 не кратно 2. Аналогичное противоречие получается и в третьем случае. Значит, не существует очень счастливых четырёхзначных чисел, кратных 11.

Ответ: а) Да, например, 3012, 3013, …, 3021; б) нет; в) 11.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а, б и в.	4
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и в.	3
Получен верный обоснованный ответ в пункте б, пункты а и в не решены, либо получен верный обоснованный ответ в пункте в, пункты а и б не решены.	2
Приведён пример в пункте а, пункты б и в не решены.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	530830	а) Да, например, 3012, 3013, …, 3021; б) нет; в) 11.

Ключ