PDF-версии: 
В треугольнике ABC проведены биссектрисы BM и CN. Оказалось, что точки B, C, M и N лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если MN : BC = 2 : 5, а BN = 14.
Решение. а) Вписанные углы NCM и MBN опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны. Поскольку
получаем 
то есть треугольник ABC равнобедренный.
б) Поскольку
получаем, что 
и прямая MN параллельна прямой BC. Отрезок BC равен 35.
Пусть AK — биссектриса, медиана и высота треугольника ABC. Прямая AK проходит через точку P — центр вписанной окружности. Треугольник ANM подобен треугольнику ABC, следовательно,
Тогда
Площадь треугольника ABС равна
а значит,
В четырёхугольнике AMPN диагонали AP и MN перпендикулярны, следовательно, его площадь равна
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |