PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений
имеет ровно четыре решения.
Решение. Преобразуем систему:
Графиком второго уравнения является семейство параллельных прямых (см. рис., выделено синим). При 
первое уравнение, а значит, и вся система, не имеет решений. При 
графиком первого уравнения в системе координат xOy является окружность с центром в точке 
и радиусом 
при 
вырождающаяся в точку. При система имеет единственное решение 
Исходная система будет иметь ровно четыре решения тогда и только тогда, когда окружность будет иметь ровно четыре общие точки с семейством прямых.
Прямая 
при любом значении 
имеет две общие точки с окружностью. В силу симметрии прямая 
и прямая 
касаются окружности при одном и том же значении a. Радиус окружности в этом случае равен половине диагонали квадрата со стороной 1, то есть радиус равен
откуда 
Значит, при 
система имеет ровно четыре решения. При других значениях параметра система будет иметь или больше четырех решений, или меньше.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |