Ре­ше­ние. а)  Если все ребра пи­ра­ми­ды оди­на­ко­во на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию, то ее вер­ши­на про­ек­ти­ру­ет­ся в центр опи­сан­ной во­круг ос­но­ва­ния окруж­но­сти. Про­ве­дем через этот центр пря­мую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную ос­но­ва­нию (она будет со­дер­жать вы­со­ту пи­ра­ми­ды). По­стро­ен­ная пря­мая  — мно­же­ство точек, рав­но­уда­лен­ных от вер­шин ос­но­ва­ния. Рас­смот­рим плос­кость, пер­пен­ди­ку­ляр­ную бо­ко­во­му ребру и про­хо­дя­щую через его се­ре­ди­ну. Все точки этой плос­ко­сти рав­но­уда­ле­ны от кон­цов ребра. Точка пе­ре­се­че­ния этой плос­ко­сти и ранее по­стро­ен­ной пря­мой будет рав­но­уда­ле­на ото всех вер­шин пи­ра­ми­ды и по­то­му яв­ля­ет­ся цен­тром опи­сан­ной сферы.

б)  Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть в ос­но­ва­нии лежит тра­пе­ция ABCD, точка O  — центр опи­сан­ной во­круг ос­но­ва­ния окруж­но­сти, она также яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей вер­ши­ны S на плос­кость ос­но­ва­ния, BH  — вы­со­та тра­пе­ции.

Вы­со­ту тра­пе­ции най­дем из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABH: диа­го­наль тра­пе­ции  ВН най­дем из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  ВНD:

Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тра­пе­ции, опи­са­на и во­круг тре­уголь­ни­ка BCD. По­сколь­ку для ра­ди­у­са опи­сан­ной окруж­но­сти по­лу­ча­ем:

Далее на­хо­дим вы­со­ту пи­ра­ми­ды:

По п. а) центр сферы лежит на пря­мой, со­дер­жа­щей вы­со­ту пи­ра­ми­ды. В этом слу­чае ра­ди­ус сферы вы­со­та пи­ра­ми­ды H и ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем

Тогда

Ответ: б)