PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решение. Решим первое уравнение системы: 
Получим 
или 
при условии 
Построим график данного уравнения (на рисунке изображён синим цветом).
Графиком функции 
является прямая с неотрицательным угловым коэффициентом, равным 
определённая при 
проходящая через начало координат.
Возможны четыре случая взаимного расположения данной прямой и графика первого уравнения системы.
1. Прямая при 
(красная прямая) пересекает окружность в двух точках и не имеет общих точек с графиком уравнения Таким образом, система имеет ровно два решения.
2. Прямая при 
(зелёная прямая) пересекает окружность в двух точках и график уравнения ещё в одной. В этом случае система имеет три решения.
3. Прямая при 
(оранжевая прямая) касается окружности Уравнение касательной имеет вид 
С графиком уравнения данная прямая имеет одну точку пересечения. Таким образом, система имеет ровно два решения.
4. Прямая при 
(малиновая прямая) не имеет общих точек с окружностью 
С графиком уравнения прямая имеет две точки пересечения. Таким образом, система имеет ровно два решения.
Исходная система будет иметь ровно два различных решения при a = 3 или a ≥ 4.
Ответ: a = 3; a ≥ 4.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки a = 4. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен промежуток (4; +∞), возможно, с исключением граничной точки a = 4 и исключением точки a = 3 ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения. | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямой и окружности и прямых (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |