РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 525049 Добавить в вариант

Методы геометрии: Свойства касательных, секущих

Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники

Планиметрическая задача. Окружности и четырехугольники, разные задачи

Дана трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Около треугольника KLN описана окружность, прямые LM и MN  — касательные к этой окружности.

а)  Докажите, что треугольники LMN и KLN подобны.

б)  Найдите площадь треугольника KLN, если известно, что KN  =  6, а $\angle$ LMN  =  120° .

Решение. а)  Касательная LM параллельна хорде KN, значит, $\angleKNL=\angleMLN$ а так как $\angleMLN=\angleLKN$ как угол между касательной и хордой, треугольник KLN равнобедренный с основанием KN.

Поскольку ML  =  MN как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, треугольник LMN также равнобедренный с основанием LN.

Углы при основаниях равнобедренных треугольников LMN и LKN равны, следовательно, эти треугольники подобны.

б)  Угол при вершине равнобедренного треугольника KLN равен 120°, значит, его высота LH вдвое меньше боковой стороны $LN= дробь: числитель: KN, знаменатель: корень из 3 конец дроби =2 корень из 3 ,$ то есть $LH= корень из 3 .$ Следовательно,

$S_KNL= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби KN умножить на LH= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6 умножить на корень из 3 =3 корень из 3 .$

Ответ: $3 корень из 3 .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: $3 корень из 3 .$

525049

$3 корень из 3 .$

Методы геометрии: Свойства касательных, секущих

Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	525049	$3 корень из 3 .$