РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 524573 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром, Уравнения смешанного типа, Функции, зависящие от параметра

Методы алгебры: Использование симметрий, оценок, монотонности, Введение замены, Использование симметрий, оценок, монотонности

Задача с параметром. Использование монотонности, оценок

Найдите все значения a, при которых уравнение

$косинус в степени левая круглая скобка 18 правая круглая скобка x минус левая круглая скобка a минус 2 косинус x правая круглая скобка в степени 9 плюс 2 косинус x=a минус косинус в квадрате x$

не имеет решений.

Решение. Запишем уравнение в виде:

$косинус в степени левая круглая скобка 18 правая круглая скобка x плюс косинус в квадрате x= левая круглая скобка a минус 2 косинус x правая круглая скобка в степени 9 плюс левая круглая скобка a минус 2 косинус x правая круглая скобка$

Рассмотрим функцию $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в степени 9 плюс t,$ тогда исходное уравнение имеет вид $f левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =f левая круглая скобка a минус 2 косинус x правая круглая скобка .$ Функция f является суммой двух возрастающих функций и потому возрастает. В силу монотонности f равенству значений функции соответствует равенство аргументов, откуда получаем:

$косинус в квадрате x=a минус 2 косинус x равносильно a= косинус в квадрате плюс 2 косинус x.$

Функция $y= косинус x$ принимает значения от $минус 1$ до $1,$ а функция $z=y в квадрате плюс 2y$ монотонно возрастает на отрезке $левая квадратная скобка минус 1,1 правая квадратная скобка$ и принимает на нём значения от −1 до 3. Значит, уравнение $a= косинус в квадрате x плюс 2 косинус x,$ а с ним и исходное уравнение имеют решение при $минус 1 меньше или равно a меньше или равно 3,$ и не имеют решений при $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого коечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки множества значений а.	2
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки множества значений а. ИЛИ Задача сведена к исследованию функции $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в квадрате плюс 2t.$ ИЛИ Получено уравнение $косинус в квадрате x=a минус 2 косинус x$	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

524573

$a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром, Уравнения смешанного типа, Функции, зависящие от параметра

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	524573	$a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$