Тип 19 № 524000 
Числа и их свойства. Последовательности и прогрессии
i
Все члены возрастающих арифметических прогрессий a1, a2... и b1, b2... являются натуральными числами.
а) Приведите пример таких прогрессий, для которых a1b1 + 2a3b3 = 4a2b2.
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых 2a1b1 + a4b4 = 3a2b2?
в) Какое наибольшее значение может принимать произведение a2b2, если 2a1b1 + a4b4 ≤ 210?
Решение. а) Подходящим примером являются прогрессии 2, 3, 4,... и 2, 3, 4,... Для этих прогрессий имеем 
б) Обозначим через c и d разности арифметических прогрессий 
и 
соответственно. Тогда
и 
Если 
то 
Получаем противоречие, ведь по условию 
и 
в) По условию и В ходе решения пункта б мы получили, что Значит,
Покажем, что случай 
возможен. Это равенство выполняется, например, для прогрессий 3, 4, 5, 6,... и 16, 17, 18, 19,... Для них 
и 
Ответ: а) Например, 2, 3, 4,... и 2, 3, 4,...; б) нет; в) 68.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) Например, 2, 3, 4,... и 2, 3, 4,...; б) нет; в) 68.
524000
а) Например, 2, 3, 4,... и 2, 3, 4,...; б) нет; в) 68.
PDF-версии: