PDF-версии: 
На ребре AB правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причём AQ : QB = 1 : 2. Точка P — середина ребра AS.
а) Докажите, что плоскость DPQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна 6.
Решение. а) Пусть O — центр основания пирамиды, точка M — середина ребра AD, отрезки AO и DQ пересекаются в точке K, а отрезки MO и DQ пересекаются в точке N. Тогда MO — средняя линия в треугольнике ADB, а NO — средняя линия в треугольнике QDB. Значит,
Таким образом, треугольники AKQ и OKN равны. Следовательно, точка K — середина отрезка AO. Значит, прямая PK содержит среднюю линию треугольника ASO, поэтому она перпендикулярна плоскости основания пирамиды SABCD. Плоскость DPQ содержит прямую PK, поэтому она тоже перпендикулярна плоскости основания.
б) Пусть сторона основания пирамиды равна 
а высота пирамиды равна h. Тогда площадь сечения DSB равна
откуда 
Площадь сечения DPQ равна
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |