PDF-версии: 
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Диаметр CC1 перпендикулярен стороне AD и пересекает её в точке M, а диаметр DD1 перпендикулярен стороне AB и пересекает её в точке N.
а) Пусть AA1 также диаметр окружности. Докажите, что 
б) Найдите углы четырехугольника ABCD, если 
Решение. а) Вписанные углы 
и 
опираются на одну и ту же дугу, значит, 
Пусть O — центр окружности. Из точек M и N отрезок OA виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OA. Вписанные в эту окружность углы MAO и MNO опираются на одну и ту же дугу, следовательно, 
б) Поскольку диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам, треугольники ACD и ABD равнобедренные (их высота являются медианами). Положим 
Тогда
С другой стороны, 
из равенства 
находим, что 
Следовательно, 
Ответ: б) 70°, 125°, 110°, 55°.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |