РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 165. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

а)  Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б)  Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз больше, чем сумма исходных чисел?

в)  Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Решение. а)  Пусть первоначально на доске 7 раз было записано число 19 и один раз число 32. Тогда сумма этих чисел равна 165. После перестановки цифр на доске 7 раз оказалось записано число 91 и один раз число 23. Сумма этих чисел равна 660  =  4 · 165.

б)  Пусть на доске были написаны двузначные числа $\overlinea_1b_1, ..., \overlinea_nb_n.$ Обозначим $A=a_1 плюс ... плюс a_n, B=b_1 плюс ... плюс b_n.$ По условию $10A плюс B=165$ и $10B плюс A=5 умножить на 165.$ Тогда разность этих чисел равна $9 левая круглая скобка B минус A правая круглая скобка =4 умножить на 165.$ Но левая часть последнего равенства делится на 9, а правая не делится. Значит, такая ситуация невозможна.

в)  Пусть на доске были написаны двузначные числа $\overlinea_1b_1, ..., \overlinea_nb_n.$ Обозначим $A=a_1 плюс ... плюс a_n, B=b_1 плюс ... плюс b_n.$ По условию $10A плюс B=165$ и нужно найти наибольшее значение числа $S=10B плюс A.$ Тогда

$S=10B плюс A=10 левая круглая скобка 165 минус 10A правая круглая скобка плюс A=1650 минус 99A.$

Таким образом, необходимо найти наименьшее возможное значение числа A. Поскольку $b_1 меньше или равно 9a_1, ..., b_n\leqslant9a_n,$ получаем $B меньше или равно 9A.$ Поэтому $165=10A плюс B\leqslant10A плюс 9A=19A,$ откуда $A больше или равно дробь: числитель: 165, знаменатель: 19 конец дроби больше 8,$ то есть $A\geqslant9.$ Значит,

$S=1650 минус 99A\leqslant1650 минус 99 умножить на 9=759.$

Приведём пример, показывающий, что число S действительно может быть равным 759. Пусть первоначально на доске 8 раз было записано число 19 и один раз число 13. Тогда сумма этих чисел равна 165. После перестановки цифр на доске 8 раз оказалось записано число 91 и один раз число 31. Сумма этих чисел равна 759.

Ответ: а)  да, например 7 раз число 19 и один раз число 32; б)  нет; в)  759.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	520195	а)  да, например 7 раз число 19 и один раз число 32; б)  нет; в)  759.

Ключ