PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет более двух решений.
Решение. Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим четыре случая:
1) Если 
и 
то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт пару прямых 
и 
Случаю удовлетворяют отрезки внутри квадрата 
с центром в начале координат.
2) Если и 
то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт параболу 
Случаю удовлетворяет только дуга выше прямой 
3) Если 
и то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт параболу 
Случаю удовлетворяет только дуга правее прямой 
4) Если 
и то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт прямую 
Случаю удовлетворяют лучи вне квадрата с центром в начале координат.
Точки 
являются точками пересечения полученных парабол с полученными прямыми и лежат на прямых 
и/или 
поэтому искомое множество состоит из прямой l, задаваемой уравнением 
отрезка AB прямой 
дуги 
параболы 
с концами в точках B и C и дуги 
параболы 
с концами в точках A и C (см. рис.).
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой AB или совпадающую с ней.
Заметим, что при a = 0 прямая m пересекает прямую l в одной точке и не пересекает дуги и и отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение..
При a = 1 прямая m содержит отрезок AB, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.
При 1 < a < 2 прямая m не пересекает отрезок AB, пересекает прямую l в точке, отличной от точки C, и пересекает каждую из дуг и в одной точке, отличной от точки C, то есть исходная система имеет три решения.
При a = 2 прямая проходит через точку C пересекает в ней прямую l и касается дуг и 
то есть система имеет одно решение. Факт касания должен быть пояснен. Точки пересечения прямой и параболы могут быть описаны уравнением
которое имеет единственное решение x = 1, соответствующее точке C и, следовательно, в этой точке имеет место касание прямой и дуги параболы 
Для дуги параболы аналогично.
При a < 1 или a > 2 прямая m пересекает прямую l в одной точке и не пересекает дуги и и отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.
Значит, исходная система имеет более двух решений при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a отличающееся от искомого только исключением точки a = 1 | 3 |
| При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из четырёх случаев, возникающих при раскрытии модулей | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг парабол и прямых (аналитически и графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 0 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |