Ре­ше­ние. За­ме­тим, что сти­ра­ют те числа, ко­то­рые ис­ход­но были еди­ни­ца­ми. Пусть из­на­чаль­но на доске были на­пи­са­ны n еди­ниц и дру­гих чисел.

а)   Да, могло быть. За­ме­тим, что сумма этих дру­гих чисел равна Тогда по­лу­чим не­ра­вен­ство: Го­дит­ся, на­при­мер, Тогда под­хо­дят такие числа: 25 еди­ниц и числа 35, 36, 37, 38, 39.

б)  Нет, не могло. Те­перь сумма всех чисел равна 810. Ана­ло­гич­но ре­ше­нию пунк­та а) по­лу­чим двой­ное не­ра­вен­ство: От­сю­да по­лу­ча­ем си­сте­му двух не­ра­венств: и Тогда и од­но­вре­мен­но Эта си­сте­ма не имеет ре­ше­ний.

в)  Пусть M  — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, остав­ших­ся на доске. Тогда

Ясно, что M мак­си­маль­но, если n мак­си­маль­но. Вспом­ним, что ис­ход­ные числа не пре­вос­хо­дят 40. Зна­чит. от­ку­да Таким об­ра­зом, при­мер из пунк­та а) дает мак­си­маль­но воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го:

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  18,5.