PDF-версии: 
Назовем натуральное число хорошим, если в нем можно переставить цифры так, чтобы получившееся число делилось на 11.
а) Является ли число 1234 хорошим?
б) Является ли число 12345 хорошим?
в) Найти наибольшее хорошее число, состоящее из различных нечетных цифр.
Решение. а) Да, является: 1243 делится на 11.
Замечание: Есть и другие верные примеры, например, 4312.
б) По признаку делимости на 11, разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, должна делиться на 11. При этом в нашем случае эта разность не может быть равна нулю: так как сумма всех цифр в данном числе равна 15 (независимо от их перестановки), и, значит, разность между суммами чисел, стоящих на четных и нечетных местах, будет нечетной. При этом, эта разность по модулю не превосходит 
что меньше 11. Значит, указанная разность не делится на 11, а, следовательно, и число, полученное любой перестановкой цифр из числа 12345 не будет делиться на 11. Таким образом, 12345 не является хорошим.
в) Всего есть 5 нечетных цифр: 1, 3, 5, 7, 9. Докажем, что число, составленное из всех этих пяти цифр, не может делиться на 11. Обозначим сумму цифр, стоящих на нечетных местах искомого числа через a, а сумму цифр, стоящих на четных местах — через b. Тогда 
а значит, их разность также нечётна, то есть не равна 0.
Заметим также, что , так как 
Пусть 
тогда одно из чисел a и b, равно 7, а второе ― 18, (поскольку их сумма равна 25). Но 7 нельзя представить, ни в виде суммы двух, ни в виде суммы трёх нечетных чисел, значит, данный случай невозможен.
Значит, разность этих чисел не делится на 11, то есть число 13579 не является хорошим. Таким образом, в искомом числе не более 4 цифр. В этом случае наибольшее возможное число ― 9753. Оно является хорошим, поскольку 9735 делится на 11.
Ответ: а) да; б) нет; в) 9753.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из перечисленных результатов: ― верный пример в пункте а; ― обоснованное решение пункта б; ― доказательство того, что в пункте в количество цифр не превосходит четырёх; ― приведён пример наибольшего хорошего четырёхзначного числа. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |