РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 519425 Добавить в вариант

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018

Классификатор алгебры: Рациональные уравнения

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.2 Рациональные уравнения

Уравнения. Рациональные уравнения

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: 8, знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =7 левая круглая скобка дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби правая круглая скобка минус 1.$

б)  Найдите его корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 2;\:3 правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Сделаем замену $t= дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби ,$ тогда $t в квадрате = дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби минус 1.$ Имеем:

$2 левая круглая скобка t в квадрате плюс 1 правая круглая скобка =7t минус 1 равносильно 2t в квадрате минус 7t плюс 3=0 равносильно совокупность выражений t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,t=3. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной. Если $t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ то

$дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно система выражений x не равно 1, левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 8=2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец системы . равносильно x в квадрате минус 4x минус 5=0 равносильно совокупность выражений x= минус 1,x=5. конец совокупности .$ $дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно система выражений x не равно 1, левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 8=2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 4x минус 5=0 равносильно совокупность выражений x= минус 1,x=5. конец совокупности .$

Если $t=3,$ то

$дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби =3 равносильно система выражений x не равно 1, левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 8=12 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец системы . равносильно x в квадрате минус 14x плюс 5=0 равносильно совокупность выражений x=7 минус 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента ,x=7 плюс 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента . конец совокупности .$ $дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби =3 равносильно система выражений x не равно 1, левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 8=12 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 14x плюс 5=0 равносильно совокупность выражений x=7 минус 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента ,x=7 плюс 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента . конец совокупности .$

б)  Выясним, какие из найденных корней принадлежат отрезку $левая квадратная скобка минус 2; 3 правая квадратная скобка .$ В силу неравенств

$минус 2 меньше минус 1 меньше 7 минус корень из: начало аргумента: 44 конец аргумента меньше 3 меньше 5 меньше 7 плюс корень из: начало аргумента: 44 конец аргумента$

из найденных корней уравнения заданному отрезку принадлежат только числа $минус 1$ и $7 минус корень из: начало аргумента: 44 конец аргумента .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус 1; 5; 7 минус 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента ; 7 плюс 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента правая фигурная скобка ;$ б) $минус 1; 7 минус 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

519425

а) $левая фигурная скобка минус 1; 5; 7 минус 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента ; 7 плюс 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента правая фигурная скобка ;$ б) $минус 1; 7 минус 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента .$

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018

Классификатор алгебры: Рациональные уравнения

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.2 Рациональные уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	519425	а) $левая фигурная скобка минус 1; 5; 7 минус 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента ; 7 плюс 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента правая фигурная скобка ;$ б) $минус 1; 7 минус 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента .$