РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 518911 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Однородные тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на тангенс или котангенс

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к однородным

а)  Решите уравнение $синус 2x плюс 2 косинус в квадрате x плюс косинус 2x=0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 3 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Сведём уравнение к однородному тригонометрическому уравнению второй степени.

$2 синус x косинус x плюс 2 косинус в квадрате x плюс косинус в квадрате x минус синус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно синус в квадрате x минус 2 синус x косинус x минус 3 косинус в квадрате x=0 равносильно тангенс в квадрате x минус 2 тангенс x минус 3=0 равносильно$ $2 синус x косинус x плюс 2 косинус в квадрате x плюс косинус в квадрате x минус синус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно синус в квадрате x минус 2 синус x косинус x минус 3 косинус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно тангенс в квадрате x минус 2 тангенс x минус 3=0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка тангенс x= минус 1, новая строка тангенс x=3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= арктангенс 3 плюс Пи k,k принадлежит Z . конец совокупности .$

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 3 Пи правая квадратная скобка .$ Получим числа $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $арктангенс 3 минус 4 Пи ;$ $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ;$ $арктангенс }3 плюс Пи n,n принадлежит Z ;$ б) $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $арктангенс 3 минус 4 Пи ;$ $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

518911

а) $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ;$ $арктангенс }3 плюс Пи n,n принадлежит Z ;$ б) $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $арктангенс 3 минус 4 Пи ;$ $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	518911	а) $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ;$ $арктангенс }3 плюс Пи n,n принадлежит Z ;$ б) $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $арктангенс 3 минус 4 Пи ;$ $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$