РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 517817 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства рациональные относительно логарифмической функции

Решите неравенство $дробь: числитель: логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 64x правая круглая скобка минус 2, знаменатель: \log в квадрате _4x плюс логарифм по основанию 4 x в кубе конец дроби \geqslant минус 1.$

Решение. Преобразуем неравенство, используя свойство логарифма:

$дробь: числитель: логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 64x правая круглая скобка минус 2, знаменатель: \log в квадрате _4x плюс логарифм по основанию 4 x в кубе конец дроби \geqslant минус 1 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 4 64 плюс логарифм по основанию 4 x минус 2, знаменатель: \log в квадрате _4x плюс 3 логарифм по основанию 4 x конец дроби \geqslant минус 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 4 x плюс 1, знаменатель: \log в квадрате _4x плюс 3 логарифм по основанию 4 x конец дроби плюс 1 \geqslant0 равносильно дробь: числитель: \log в квадрате _4x плюс 4 логарифм по основанию 4 x плюс 1, знаменатель: \log в квадрате _4x плюс 3 логарифм по основанию 4 x конец дроби \geqslant0.$ $дробь: числитель: логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 64x правая круглая скобка минус 2, знаменатель: \log в квадрате _4x плюс логарифм по основанию 4 x в кубе конец дроби \geqslant минус 1 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 4 64 плюс логарифм по основанию 4 x минус 2, знаменатель: \log в квадрате _4x плюс 3 логарифм по основанию 4 x конец дроби \geqslant минус 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 4 x плюс 1, знаменатель: \log в квадрате _4x плюс 3 логарифм по основанию 4 x конец дроби плюс 1 \geqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: \log в квадрате _4x плюс 4 логарифм по основанию 4 x плюс 1, знаменатель: \log в квадрате _4x плюс 3 логарифм по основанию 4 x конец дроби \geqslant0.$

Пусть $логарифм по основанию 4 x = t,$ тогда:

$дробь: числитель: t в квадрате плюс 4t плюс 1, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус левая круглая скобка минус 2 минус корень из 3 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка t минус левая круглая скобка минус 2 плюс корень из 3 правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно совокупность выражений t\leqslant минус 2 минус корень из 3 , минус 3 меньше t\leqslant минус 2 плюс корень из 3 ,t больше 0. конец совокупности .$ $дробь: числитель: t в квадрате плюс 4t плюс 1, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус левая круглая скобка минус 2 минус корень из 3 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка t минус левая круглая скобка минус 2 плюс корень из 3 правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений t\leqslant минус 2 минус корень из 3 , минус 3 меньше t\leqslant минус 2 плюс корень из 3 ,t больше 0. конец совокупности .$ $дробь: числитель: t в квадрате плюс 4t плюс 1, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус левая круглая скобка минус 2 минус корень из 3 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка t минус левая круглая скобка минус 2 плюс корень из 3 правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений t\leqslant минус 2 минус корень из 3 , минус 3 меньше t\leqslant минус 2 плюс корень из 3 ,t больше 0. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной, получим:

$совокупность выражений логарифм по основанию 4 x\leqslant минус 2 минус корень из 3 , минус 3 меньше логарифм по основанию 4 x\leqslant минус 2 плюс корень из 3 , логарифм по основанию 4 x больше 0 конец совокупности .\undersetОДЗ\mathop равносильно совокупность выражений 0 меньше x\leqslant4 в степени левая круглая скобка минус 2 минус корень из 3 правая круглая скобка , дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 64 меньше x\leqslant4 в степени левая круглая скобка минус 2 плюс корень из 3 правая круглая скобка ,x больше 1. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0;4 в степени левая круглая скобка минус 2 минус корень из 3 правая круглая скобка правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 64;4 в степени левая круглая скобка минус 2 плюс корень из 3 правая круглая скобка правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

517817

$левая круглая скобка 0;4 в степени левая круглая скобка минус 2 минус корень из 3 правая круглая скобка правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 64;4 в степени левая круглая скобка минус 2 плюс корень из 3 правая круглая скобка правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	517817	$левая круглая скобка 0;4 в степени левая круглая скобка минус 2 минус корень из 3 правая круглая скобка правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 64;4 в степени левая круглая скобка минус 2 плюс корень из 3 правая круглая скобка правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$