PDF-версии: 
Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 4, а BC равна 
Вершина пирамиды S проецируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершины A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.
а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 8.
Решение. а) Пусть
вершина S проектируется в точку пересечения диагоналей, поэтому боковые ребра равны между собой. По теореме косинусов в треугольнике ABS:
B треугольнике ASP: 
тогда 
откуда 
Аналогично находим 
Тогда:
откуда 
что и требовалось доказать.
б) Из пункта а) следует, что
Проведем PC' параллельно QC, C' принадлежит BC, тогда угол APC' — искомый. Поскольку PC' параллельно QC и P — середина QB, то PC' — средняя линия, тогда 
В треугольнике CBQ: угол Q — прямой, 
тогда 
В треугольнике APB: угол P — прямой, 
В треугольнике ABC': угол B — прямой, 
По теореме косинусов в треугольнике APC':
Тогда угол между плоскостями SBA и SBC равен 
Ответ:б) 
Приведем решение Дениса Чернышева (Тюмень).
а) Введем базисные векторы 
как показано на рисунке. По правилам сложения векторов получаем: 
Запишем условие перпендикулярности: 
откуда ##
Выразим нужные векторы через базис и подставим в условие перпендикулярности:
Внесем множитель в скобки и раскроем квадрат суммы, учитывая, что косинус угла между векторами базиса равен нулю:
Подставив длины векторов базиса, получаем 
Аналогично рассуждая, получаем: 
и 
Значит, 
Применим выражения векторов через базис и упростим получившиеся уравнение так же, как это сделано выше. В результате получаем:
Отсюда
Подставив длины базисных векторов, получаем: 
Сравнивая коэффициенты, находим, что 
Следовательно, точка P делит пополам отрезок BQ, что и требовалось доказать.
б) Искомый угол между плоскостями есть угол прямыми АР и CQ, перпендикулярными линии пересечения этих плоскостей. Найдем вначале угол между векторами 
и 
По условию BS = 8. Применим теорему Пифагора к треугольнику BSO, получаем длину базисного вектора: 
Теперь воспользуемся выражениями векторов, которые из п. а), откуда получим: 
и 
Подставив эти числа, находим:
Аналогично,
Найдем косинус угла между векторами:
Косинус меньше нуля, то есть векторы образуют тупой угол. Следовательно, искомый угол между плоскостями есть смеждый с найденным угол, а потому он равен 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |