PDF-версии: 
Дан выпуклый многоугольник M, который можно разрезать на 1292 квадрата площади 1.
а) Приведите пример такого многоугольника, если известно, что длина его наименьшей стороны больше 15.
б) Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник M?
в) Какое наибольшее и наименьшее значение может иметь периметр этого многоугольника?
Решение. а) Площадь многоугольника M равна 
Например, это может быть прямоугольник 
б) Докажем, что многоугольник М является прямоугольником. Действительно, всякая вершина выпуклого многоугольника М является вершиной ровно одного из 1292 квадратов. Значит, все углы многоугольника М равны 
Пусть n — число вершин многоугольника М. Тогда 
откуда 
значит, многоугольник М — четырёхугольник, все углы которого равны 
в) Заметим, что стороны этого прямоугольника — целые числа. Пусть a и b — длины сторон прямоугольника 
Тогда 
а периметр прямоугольника М равен 
Заметим, что при фиксированном произведении положительных чисел a и b их сумма тем меньше, чем они ближе друг к другу, 
Действительно, пусть 
и 
Тогда 
откуда 
и, следовательно, 
Можно считать, что 
В силу сказанного выше, наибольший периметр имеет прямоугольник со сторонами 
Периметр такого прямоугольника равен 2586. Наименьший периметр будет иметь прямоугольник, у которого 
принимает наименьшее возможное значение. Перебирая возможные разложения числа 1292 на два множителя, убеждаемся в том, что наименьшее значение достигается при 
Периметр такого прямоугольника равен 144.
Другое решение пункта в):
Пусть a и b — длины сторон прямоугольника М. Тогда а периметр прямоугольника М равен 
где a и b ― натуральные числа. Исследуем функцию 
на отрезке [1; 1292]. Её производная:
Поскольку на рассматриваемом отрезке 
при 
при 
и 
при 
своё наибольшее значение на этом отрезке функция принимает на одном из его концов, а наименьшее ― в точке 
Поскольку 
число 1293 и является наибольшим значением функции, а наибольший периметр прямоугольника М равен 2586. Заметим, что 
и ближайшие слева и справа к 
натуральные числа, являющиеся делителями числа 1292, ― числа 34 и 38. Поскольку 
наименьший периметр прямоугольника M равен 144.
Ответ: а) прямоугольник 
б) 4; в) 2586, 144.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение в п. а; ― пример в п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
б) 4; в) 2586, 144. б) 4; в) 2586, 144.