РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 517242 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Координаты (x, a)

Задача с параметром. Аналитическое решение уравнений и неравенств

Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение $25 в степени x минус левая круглая скобка a плюс 6 правая круглая скобка 5 в степени x = левая круглая скобка 5 плюс 3|a| правая круглая скобка 5 в степени x минус левая круглая скобка a плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 3|a| плюс 5 правая круглая скобка$ имеет единственное решение.

Решение. Используя прямую и обратную теорему Виета для уравнения $t в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 11 плюс 3|a| правая круглая скобка t минус левая круглая скобка a плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 3|a| плюс 5 правая круглая скобка = 0,$ заключаем, что исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:

$5 в степени x = a плюс 6$

или

$5 в степени x = 3|a| плюс 5.$

Уравнение $5 в степени x = 3|a| плюс 5$ имеет решение при любом значении параметра, а потому совокупность имеет единственное решение, либо если уравнение $5 в степени x = a плюс 6$ не имеет решений, то есть при $a меньше или равно минус 6,$ либо если уравнения совокупности совпадают. Для последнего случая находим:

$3|a| плюс 5 = a плюс 6 равносильно 3|a| = a плюс 1 равносильно система выражений a плюс 1 больше или равно 0, 3a = \pm левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка конец системы . равносильно совокупность выражений a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , a = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Ответ: $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; a\leqslant минус 6.$

Приведем другое решение.

Сведем уравнение к совокупности $5 в степени x = a плюс 6$ или $5 в степени x = 3|a| минус 5.$ Построим решения уравнений на координатной плоскости xOa. На чертеже видно, что система имеет единственное решение при $a=a_1, a=a_2, a\leqslant минус 6.$ Найдем $a_1, a_2.$

Из системы $система выражений 5 в степени x минус a минус 6=0,5 в степени x минус 5 плюс 3a=0 конец системы .$ получаем $6 плюс a=5 минус 3a,$ откуда $a_1= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Из системы $система выражений 5 в степени x минус a минус 6=0,5 в степени x минус 5 минус 3a=0 конец системы .$ получаем $6 плюс a=5 плюс 3a,$ откуда $a_2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Ответ: $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; a\leqslant минус 6.$ $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; a\leqslant минус 6.$

517242

$a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; a\leqslant минус 6.$

Классификатор алгебры: Координаты (x, a)

Методы алгебры: Группировка

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	517242	$a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; a\leqslant минус 6.$