РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 517204 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Координаты (x, a)

Задача с параметром. Аналитическое решение уравнений и неравенств

Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение $4 в степени x плюс левая круглая скобка a минус 6 правая круглая скобка 2 в степени x = левая круглая скобка 2 плюс 3|a| правая круглая скобка 2 в степени x плюс левая круглая скобка a минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 3|a| плюс 2 правая круглая скобка$ имеет единственное решение.

Решение. Уравнение равносильно совокупности уравнений $2 в степени x = 6 минус a$ или $2 в степени x = 2 плюс 3|a|.$ Второе из них имеет единственное решение при всех значениях параметра, поэтому исходное уравнение имеет единственное решение, если первое уравнение не имеет решений, то есть при $6 минус a меньше или равно 0,$ либо если оба уравнения совпадают. Во втором случае имеем:

$6 минус a = 2 плюс 3|a| равносильно 3|a| = 4 минус a равносильно совокупность выражений a=1, a= минус 2. конец совокупности .$

Ответ: $a= минус 2; a=1; a\geqslant6.$

Приведем другое решение.

Запишем уравнение в виде $левая круглая скобка 2 в степени x плюс a минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 минус 3|a| правая круглая скобка =0,$ откуда $2 в степени x = 6 минус a$ или $2 в степени x = 2 плюс 3|a|.$

Построим решения уравнения на координатной плоскости xOa.

На чертеже видно, что система имеет единственное решение при $a=a_1, a=a_2, a\geqslant6.$ Найдем $a_1, a_2.$

Из системы $система выражений 2 в степени x плюс a минус 6=0,2 в степени x минус 2 плюс 3a=0 конец системы .$ получаем $6 минус a=2 минус 3a,$ откуда $a_1= минус 2.$

Из системы $система выражений 2 в степени x плюс a минус 6=0,2 в степени x минус 2 минус 3a=0 конец системы .$ получаем $6 минус a=2 плюс 3a,$ откуда $a_2=1.$

Ответ: $a= минус 2; a=1; a\geqslant6.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Ответ: $a= минус 2; a=1; a\geqslant6.$ $a= минус 2; a=1; a\geqslant6.$

517204

$a= минус 2; a=1; a\geqslant6.$

Классификатор алгебры: Координаты (x, a)

Методы алгебры: Группировка

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	517204	$a= минус 2; a=1; a\geqslant6.$