Ре­ше­ние. Пусть акции про­да­ны в конце года t за t² тыс. руб., и по­лу­чен­ная сумма по­ло­же­на в банк на остав­ши­е­ся 20 − t лет под 25% го­до­вых. Тогда цена акций на конец срока со­ста­вит тыс. руб. Найдём наи­боль­шее зна­че­ние по­лу­чен­ной функ­ции на мно­же­стве на­ту­раль­ных t, не пре­вос­хо­дя­щих 20. Имеем:

Най­ден­ная про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль в точке и ме­ня­ет в ней знак с плюса на минус. Сле­до­ва­тель­но, это точка мак­си­му­ма. За­ме­тим, что

Из по­лу­чен­ной оцен­ки сле­ду­ет, что точка мак­си­му­ма лежит на ин­тер­ва­ле (8; 10). Срав­ним зна­че­ния функ­ции в точ­ках 8, 9 и 10. По­сколь­ку

наи­боль­шее зна­че­ни­ем функ­ции на мно­же­стве на­ту­раль­ных ар­гу­мен­тов до­сти­га­ет­ся в точке 9. Про­да­вать акции не­об­хо­ди­мо в конце де­вя­то­го года.

Ответ: в конце де­вя­то­го года.

При­ме­ча­ние.

Без срав­не­ния зна­че­ний функ­ции в точ­ках 8, 9 и 10 не обой­тись. На­при­мер, если точка мак­си­му­ма до­ста­точ­но близ­ка к точке 8, зна­че­ние в точке 8 может ока­зать­ся боль­ше, чем зна­че­ние в точке 9.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пе­ре­кла­ды­вать день­ги в банк имеет смысл, когда доход в 25% го­до­вых, то есть еже­год­ное уве­ли­че­ние суммы в 1,25 раза, будет пре­вос­хо­дить еже­год­ный квад­ра­тич­ный рост цен. Про­сле­дим за до­ход­но­стью:

Ко­эф­фи­ци­ент до­ход­но­сти k за 9-й год боль­ше 1,25, а за 10-й год мень­ше 1,25. По­ка­жем, что в сле­ду­ю­щие годы он будет далее умень­шать­ся. Дей­стви­тель­но, в силу тож­деств

по­лу­ча­ем, что ко­эф­фи­ци­ент k мо­но­тон­но убы­ва­ет с уве­ли­че­ни­ем t.

Те­перь можно сде­лать вывод о том, что в конце де­вя­то­го года це­ле­со­об­раз­но пе­ре­ло­жить день­ги в банк.