РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Конечная последовательность $a_1,a_2, \ldots, a_n$ состоит из $n\geqslant3$ не обязательно различных натуральных чисел, причём при всех натуральных $k меньше или равно n минус 2$ выполнено равенство $a_k плюс 2=2a_k плюс 1 минус a_k минус 1.$

а)  Приведите пример такой последовательности при n  =  5, в которой a₅  =  4.

б)  Может ли в такой последовательности некоторое натуральное число встретиться три раза?

в)  При каком наибольшем n такая последовательность может состоять только из трёхзначных чисел?

Решение. а)  Например, 2, 4, 5, 5, 4.

б)  Нет. Заметим, что $a_k плюс 2 минус a_k плюс 1=a_k плюс 1 минус a_k минус 1,$ то есть разность между соседними членами последовательности уменьшается на 1. Поэтому последовательность с какого-то момента убывает, а до этого момента возможно возрастает (возрастающей части может и не быть, если разность сразу выбрать отрицательной). Очевидно, каждое число может не более одного раза встретиться на участке возрастания и на участке убывания.

в)  Заметим, что если ко всем членам последовательности прибавить одно и то же число, она по прежнему будет удовлетворять условию. Выберем максимальный ее член x и прибавим ко всем членам по $999 минус x.$ Теперь максимальный равен 999, а остальные остались трехзначными.

Изучим, сколько трехзначных чисел может содержать убывающая последовательность такого типа, начинающаяся с 999. Это будут числа

$999 минус 1,999 минус 1 минус 2,\ldots, 999 минус 1 минус 2 минус \ldots минус n=999 минус дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$

Для того чтобы они были трехзначными, нужно, чтобы $n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 2 умножить на 899,$ $n меньше или равно 41.$ Итак, может быть не более 42 чисел. Аналогично возрастающая часть последовательности содержит не более 42 чисел и общий ответ  — 84.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  84.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	515692	а)  да; б)  нет; в)  84.

Ключ