РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 514674 Добавить в вариант

Источник: Задания 15 (С3) ЕГЭ 2016

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены, Группировка

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства рациональные относительно показательной функции

Решите неравенство $125 в степени x минус 25 в степени x плюс дробь: числитель: 4 умножить на 25 в степени x минус 20, знаменатель: 5 в степени x минус 5 конец дроби меньше или равно 4.$

Решение. Пусть $t=5 в степени x ,$ тогда неравенство примет вид:

$t в кубе минус t в квадрате плюс дробь: числитель: 4t в квадрате минус 20, знаменатель: t минус 5 конец дроби меньше или равно 4 равносильно t в кубе минус t в квадрате плюс дробь: числитель: 4t в квадрате минус 4t, знаменатель: t минус 5 конец дроби \leqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус t правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: t минус 5 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$ $t в кубе минус t в квадрате плюс дробь: числитель: 4t в квадрате минус 20, знаменатель: t минус 5 конец дроби меньше или равно 4 равносильно$
$равносильно t в кубе минус t в квадрате плюс дробь: числитель: 4t в квадрате минус 4t, знаменатель: t минус 5 конец дроби \leqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус t правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: t минус 5 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: t левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 5t плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 5 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 5 конец дроби \leqslant0,$ $равносильно дробь: числитель: t левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 5t плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 5 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 5 конец дроби \leqslant0,$

откуда $t меньше или равно 0;t=1;4 меньше или равно t меньше 5.$

При $t\leqslant0$ получим: $5 в степени x меньше или равно 0,$ решений нет.

При $t=1$ получим: $5 в степени x =1,$ откуда $x=0.$

При $4 меньше или равно t меньше 5$ получим: $4 меньше или равно 5 в степени x меньше 5,$ откуда $логарифм по основанию 5 4 меньше или равно x меньше 1.$

Решение исходного неравенства: $x = 0;$ $логарифм по основанию 5 4 меньше или равно x меньше 1.$

Ответ: $левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка логарифм по основанию 5 4;1 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

514674

$левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка логарифм по основанию 5 4;1 правая круглая скобка .$

Источник: Задания 15 (С3) ЕГЭ 2016

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены, Группировка

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514674	$левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка логарифм по основанию 5 4;1 правая круглая скобка .$