РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д15 C4 № 514640 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 703 (часть 2)

Классификатор планиметрии: Комбинации фигур, Окружность, описанная вокруг четырехугольника

Сложная планиметрия. Комбинации фигур

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке M. Точка Q лежит на меньшей дуге MC окружности с диаметром BC. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P.

а)  Докажите, что прямые PM и QM перпендикулярны.

б)  Найдите PQ, если AM  =  6, BM  =  2, а Q  — середина дуги MC.

Решение. а)  Поскольку $\angle AMC=\angle BMC=90 градусов,$ точки M, A и B лежат на одной прямой, значит, отрезок CM  — высота треугольника ABC (см. рис.).

Четырёхугольники AMPC и BQMC вписаны в окружности, поэтому

$\angle PQM=180 градусов минус \angle CQM=\angle MBC=90 градусов минус \angle MAC=$ $\angle PQM=180 градусов минус \angle CQM=$
$=\angle MBC=90 градусов минус \angle MAC=$

$=90 градусов минус \angle MPC=90 градусов минус \angle MPQ,$

откуда $\angle PMQ=90 градусов.$

б)  Из прямоугольного треугольника ABC получаем: $CM= корень из: начало аргумента: AM умножить на BM конец аргумента =2 корень из 3 ,$ откуда $\angle BAC = \angle BCM=30 градусов,$ $\angle ABC= \angle ACM=60 градусов.$

Точка Q  — середина дуги MC, поэтому BQ  — биссектриса угла CBM. Значит,

$\angle MCQ = \angle MBQ= \angle QBC=30 градусов;$

$\angle CAP= \angle CAM плюс \angle MAP=$
$= \angle BAC плюс \angle MCP=60 градусов=\angle ACM.$ $\angle CAP= \angle CAM плюс \angle MAP=$
$= \angle BAC плюс \angle MCP=$
$=60 градусов=\angle ACM.$

Получаем: $CP=AM=6;$ $CQ=BM=2$ как хорды, стягивающие равные дуги. Таким образом, $PQ=CP минус CQ=4.$

Ответ: б) 4.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a и обоснованно получен верный ответ в пункте б	3
Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) 4.

514640

б) 4.

Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 703 (часть 2)

Классификатор планиметрии: Комбинации фигур, Окружность, описанная вокруг четырехугольника

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514640	б) 4.