PDF-версии: 
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1 со стороной основания 12 и высотой 3. Точка K — середина BC, точка L лежит на стороне A1B1 так, что В1L = 5. Точка М — середина A1C1. Через точки K и L проведена плоскость таким образом, что она параллельна прямой AC.
а) Докажите, что указанная выше плоскость перпендикулярна прямой MB.
б) Найдите объем пирамиды с вершиной в точке В, у которой основанием является сечение призмы плоскостью.
Решение. а) Отметим точки
и 
на ребрах 
и AB соответственно так, чтобы 
Тогда плоскость 
— это плоскость 
Очевидно, 
поскольку проекция BM на плоскость ABC — высота треугольника 
Она перпендикулярна AC, а значит, и 
По теореме о трех перпендикулярах 
Рассмотрим теперь проекцию 
точки M на плоскость 
Проекция 
на эту плоскость — середина ребра 
поэтому 
Докажем теперь, что прямая 
перпендикулярна 
Тогда по теореме о трех перпендикулярах окажется, что 
тогда и 
Обозначим за O точку пересечения отрезков и 
за 
и 
— проекции точек и L на прямую 
Тогда
Итак, тангенсы этих углов обратны друг другу, поэтому углы в сумме дают 90° и угол 
= 180° − 90° = 90°, что и требовалось доказать.
б) Очевидно 
поскольку 
— равносторонний треугольник.
Ответ:
Примечание.
Для вычисления объема тетраэдра 
использована формула 
где а и b — противоположные ребра тетраэдра, а с и φ — соответственно расстояние и угол между ними. Эта формула приведена в школьном учебнике Л. С. Атанасяна Геометрия 10–11 для самостоятельного доказательства (задача № 803).
Приведем другое решение.
а) Пусть плоскость сечения α пересекает ребро AB в точке K1, а ребро BC -- в точке L1. Тогда КК1 || AC, поскольку плоскость сечения параллельна AC. Плоскость сечения пересекает параллельные плоскости оснований по параллельным прямым, следовательно, LL1 || KK1 || A1C1 || AC.
Проведем плоскость BB1M, пусть она пресекает ребро AC в точке N, прямую KK1 в точке Pи прямую LL1 в точке R.
Заметим, что MB1 — высота правильного треугольника со стороной 12, следовательно, 
Аналогично 
и 
Докажем, что MB ⊥ PR:
тогда
Тогда ∠MBN + ∠RPB = 90°, следовательно, BM ⊥ PR.
Заметим, что BM ⊥ KK1, поскольку ее проекция BN ⊥ KK1. Следовательно, прямая BM перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости α, а значит, она перпендикулярна плоскости α, что и требовалось доказать.
б) Основанием пирамиды является трапеция LL1KK1 с высотой PR. Высотой пирамиды является отрезок BT, где T — точка пересечения BM и PR. Заметим, что 
тогда
Приведем решение Ирины Шраго координатным методом.
а) Отметим точки и на ребрах и AB соответственно так, чтобы Тогда плоскость — это плоскость Пусть отрезок 
пересекает медиану BN треугольника ABC в точке P.
Введем систему координат с началом в точке P, направив ось Ox вдоль луча PK, ось Oy — вдоль луча PB.
Пусть плоскость задается уравнением 
Эта плоскость проходит через ось Ox, следовательно, 
Пусть плоскость пересекает отрезок B1M в точке G. Координаты точки G: 
Подставив их в уравнение плоскости 
найдем 
Вектор нормали плоскости 
коллинеарен вектору 
следовательно, плоскость перпендикулярна прямой 
что и требовалось доказать.
б) Высоту искомой пирамиды найдем по формуле расстояния от точки 
до плоскости 
Она равна 
Основание пирамиды — трапеция с основаниями 
и 
и высотой 
Площадь трапеции 
Тогда объем пирамиды 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |