РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанных на доске заменяется на два числа: a + b и 2a − 1 или a + b и 2b − 1.

Пример: числа 2 и 3 заменяются на 3 и 5, на 5 и 5, соответственно.

а)  Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел, написанных на доске, окажется числом 15.

б)  Может ли после 50 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 100.

в)  Сделали 2015 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?

Решение. а)  Число 15 могло получиться в результате следующей последовательности ходов:

$левая круглая скобка 2,3 правая круглая скобка , левая круглая скобка 3,5 правая круглая скобка , левая круглая скобка 8,9 правая круглая скобка , левая круглая скобка 15,17 правая круглая скобка .$

б)  После первого хода на доске будет записано либо 3 и 5, либо 5 и 5. Заметим, что после каждого последующего хода каждое из двух чисел увеличивается хотя бы на 2. Значит, после 50 ходов меньшее из двух чисел будет не меньше $3 плюс 49 умножить на 2=101.$ Значит, после 50 ходов на доске не может оказаться число 100.

в)  Пусть в какой-то момент на доске была написана пара чисел a и b, причём b > a. Тогда после хода на доске будет написано либо $2a минус 1$ и $a плюс b,$ либо $a плюс b$ и $2b минус 1.$ В первом из этих случаев разность чисел равна $b минус a плюс 1,$ а во втором $b минус a минус 1.$ То есть после каждого хода разность большего и меньшего чисел изменяется на 1, причём для любых двух различный чисел можно сделать ход так, чтобы разность увеличилась, и так, чтобы разность уменьшилась.

Изначально разность большего и меньшего чисел была равна 1, а после каждого хода её чётность меняется. Значит, после 2015 ходов разность должна быть чётной. Поэтому наименьшая возможная разность  — это 2.

Например, если сначала сделать 1008 ходов, увеличивающих разность, а затем 1007 ходов, уменьшающих разность, то получится два числа, разность которых равна 2.

Ответ: а) $левая круглая скобка 2,3 правая круглая скобка , левая круглая скобка 3,5 правая круглая скобка , левая круглая скобка 8,9 правая круглая скобка , левая круглая скобка 15,17 правая круглая скобка ;$ б) нет; в) 2.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514532	а) $левая круглая скобка 2,3 правая круглая скобка , левая круглая скобка 3,5 правая круглая скобка , левая круглая скобка 8,9 правая круглая скобка , левая круглая скобка 15,17 правая круглая скобка ;$ б) нет; в) 2.

Ключ