PDF-версии: 
В треугольнике АВС проведены две высоты ВМ и CN, причём 
и 
а) Докажите, что угол АВС тупой.
б) Найдите отношение площадей треугольников BMN и ABC.
Решение. а) Поскольку
точки C и M лежат по одну сторону от точки А, а так как AM < CM, точка M лежит на отрезке АС.
Положим АМ = 2x, CM = 3x. Из прямоугольного треугольника ABM находим, что
По теореме Пифагора
По теореме косинусов
Следовательно, 
б) Из прямоугольных треугольников ANC и BNC находим, что
значит B — середина AN.
Обозначим 
Тогда
Следовательно,
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |