Ре­ше­ние. а)  Тре­уголь­ник KOH рав­но­бед­рен­ный и тра­пе­ция KLMN рав­но­бед­рен­ная, по­это­му ∠KHO = ∠OKH = ∠MNK. Зна­чит, пря­мые OH и MN па­рал­лель­ны, а так как OQ  — сред­няя линия тра­пе­ции, то па­рал­лель­ны пря­мые OQ и KN. Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны четырёхуголь­ни­ка NQOH по­пар­но па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, NQOH  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Пусть окруж­ность с цен­тром в точке O ра­ди­у­са R ка­са­ет­ся сто­ро­ны MN в точке P. В пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках OPQ и KHL имеем

По­это­му

Пусть KH  =  x. По­сколь­ку тра­пе­ция KLMN рав­но­бед­рен­ная, KN  =  2KH + LM; NH  =  KH + LM  =  x + 2.

Тогда

от­ку­да x  =  2. Зна­чит, KN  =  2x + 2  =  6.

Ответ: б) 6.