PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет ровно одно решение.
Решение. Множество точек, где первый множитель числителя равен нулю — окружность радиуса 1 с центром в точке 
второй множитель можно преобразовать как 
поэтому для него соответствующее множество точек — окружность с центром в 
и радиусом 
Эти две окружности пересекаются в точках 
и 
Значит, первое уравнение задает дуги этих окружностей, лежащие выше прямой 
Эта прямая содержит центры обеих окружностей.
Второе уравнение системы задает прямую, перпендикулярную прямой 
и проходящую через точку 
Она пересекает большую окружность при 
а маленькую — при 
В крайних точках этих интервалов прямая касается окружностей и эти точки не подходят, так как лежат на прямой В остальных точках этих интервалов прямая пересекает окружность в двух точках, ровно одна из которых выше прямой Следовательно, нас устраивают такие значения a:
(прямая пересекает большую окружность, но не меньшую).
(прямая пересекает меньшую окружность, но не большую).
(прямая пересекает обе окружности в совпадающей точке ).
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |