PDF-версии: 
В треугольнике ABC проведена биссектриса CM, касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке P.
А) Докажите, что BC : AC = CP : AP.
Б) Найдите длину CP, если известно, что AM = 5, BM = 4.
Решение. А) Рассмотрим Δ APC и Δ CPB. У них: ∠P — общий, ∠CAP = ∠BCP (как измеряющиеся половиной градусной меры дуги BC). Следовательно, Δ APC ~ Δ CPB, откуда 
или BC : AC = CP : AP, что и требовалось доказать.
Б) По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника: 
По доказанному выше: 
значит,
Но по свойству секущей и касательной, проведенных к окружности из одной и той же точки имеем: 
Следовательно,
Ответ: Б) 20.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |