РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 511885 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 116

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $\log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 3 минус \log _ левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 2 правая круглая скобка x.$

Решение. Ограничения на x: $0 меньше x меньше 0,5;x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Для таких x:

$\log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 3 минус \log _ левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 2 правая круглая скобка x равносильно \log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 3 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка минус \log _xx конец дроби равносильно$ $\log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 3 минус \log _ левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 2 правая круглая скобка x равносильно$
$равносильно \log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 3 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка минус \log _xx конец дроби равносильно$

$равносильно \log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка минус 1 конец дроби минус 3 меньше или равно 0.$

Пусть $\log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка =t.$ Тогда

$t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 1 конец дроби минус 3 меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус t плюс 1 минус 3t плюс 3, знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 4t плюс 4, знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка t=2 , новая строка t минус 1 меньше 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка t=2 , новая строка t меньше 1 . конец совокупности .$ $t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 1 конец дроби минус 3 меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус t плюс 1 минус 3t плюс 3, знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 4t плюс 4, знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка t=2 , новая строка t минус 1 меньше 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка t=2 , новая строка t меньше 1 . конец совокупности .$

Перейдем к переменной x.

$\log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка =2 равносильно 1 минус 2x=x в квадрате равносильно x в квадрате плюс 2x минус 1=0 равносильно x= минус 1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 1 конец аргумента равносильно совокупность выражений новая строка x= минус 1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , новая строка x= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1. конец совокупности .$ $\log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка =2 равносильно 1 минус 2x=x в квадрате равносильно x в квадрате плюс 2x минус 1=0 равносильно$
$равносильно x= минус 1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 1 конец аргумента равносильно совокупность выражений новая строка x= минус 1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , новая строка x= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1. конец совокупности .$ $\log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка =2 равносильно 1 минус 2x=x в квадрате равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 2x минус 1=0 равносильно$
$равносильно x= минус 1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 1 конец аргумента равносильно совокупность выражений новая строка x= минус 1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , новая строка x= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1. конец совокупности .$

Полученный отрицательный корень $x= минус 1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше 0$ не подходит. При имеющихся ограничениях на x:

$\log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка меньше 1;1 минус 2x больше ;0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая фигурная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

511885

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая фигурная скобка .$