РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 511593 Добавить в вариант

Методы геометрии: Тригонометрия в геометрии

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Вписанные окружности

Планиметрическая задача. Окружности и треугольники, разные задачи

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны стороны AC = 15, BC = 8. Окружность радиуса 0,5 с центром O на стороне BC проходит через вершину C. Вторая окружность касается катета AC, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности.

а)  Докажите, что радиус второй окружности меньше, чем $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби$ длины катета $AC.$

б)  Найдите радиус второй окружности.

Решение. а)  Пусть Q  — центр второй окружности, M и N  — её точки касания со сторонами AB и AC соответственно, а точка H  — проекция точки Q на $BC.$ Имеем: $AB= корень из: начало аргумента: AC в квадрате плюс BC в квадрате конец аргумента =17,$ следовательно, $косинус \angle A= дробь: числитель: 15, знаменатель: 17 конец дроби , синус \angle A= дробь: числитель: 8, знаменатель: 17 конец дроби .$ Тогда $тангенс \angle NAQ= тангенс дробь: числитель: \angle A, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: синус \angle A, знаменатель: 1 плюс косинус \angle A конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$ Поэтому $AC больше AN=4NQ,$ что и требовалось доказать.

б)  Пусть x  — радиус второй окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHQ:$

По теореме Пифагора $OH в квадрате плюс QH в квадрате =OQ в квадрате ,$ откуда:

$левая круглая скобка 15 минус 4x правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 0,5 минус x правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 0,5 плюс x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 16x в квадрате минус 122x плюс 225=0 равносильно совокупность выражений новая строка x=3,125, новая строка x=4,5. конец совокупности .$ $левая круглая скобка 15 минус 4x правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 0,5 минус x правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 0,5 плюс x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 16x в квадрате минус 122x плюс 225=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x=3,125, новая строка x=4,5. конец совокупности .$

Условию $15 минус 4x больше 0$ удовлетворяет только $x = 3,125.$

Ответ: $3,125 .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: $3,125 .$

511593

$3,125 .$

Методы геометрии: Тригонометрия в геометрии

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Вписанные окружности

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511593	$3,125 .$