i
Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что BK = OK.
а) Докажите, что четырехугольник ABKC вписанный.
б) Найдите длину отрезка AO, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC равны 5 и 15 соответственно, а OK = 8.
Так как О — центр вписанной окружности треугольника ABC, то АО, ВО — биссектрисы углов А и В, значит, 
Угол BOK внешний для треугольника AOB, поэтому 
(см. рис.).
тогда 
Тогда по признаку, связанным со свойством вписанных углов, точки А, В, К, С лежат на одной окружности.
Пусть H — проекция точки О на сторону AB (см. рис.), тогда 
Так как точки А, В, К, С лежат на одной окружности, то радиус описанной окружности треугольника ABKсовпадает с радиусом описанной окружности треугольника 
и равен R. 
Тогда
то 