РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 511581 Добавить в вариант

Методы геометрии: Тригонометрия в геометрии

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Вписанные окружности

Планиметрическая задача. Окружности и треугольники, разные задачи

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны стороны AC = 12, BC = 5. Окружность радиуса 2,5 с центром O на стороне BC проходит через вершину C. Вторая окружность касается катета AC, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности.

а)  Докажите, что радиус второй окружности меньше, чем $дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби$ длины катета $AC.$

б)  Найдите радиус второй окружности.

Решение. а)  Пусть Q  — центр второй окружности, M и N  — её точки касания со сторонами AB и AC соответственно, а точка H  — проекция точки Q на $BC.$ Имеем: $AB= корень из: начало аргумента: AC в квадрате плюс BC в квадрате конец аргумента =13,$ следовательно, $косинус \angle A= дробь: числитель: 12, знаменатель: 13 конец дроби , синус \angle A= дробь: числитель: 5, знаменатель: 13 конец дроби .$ Тогда $тангенс \angle NAQ= тангенс дробь: числитель: \angle A, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: синус \angle A, знаменатель: 1 плюс косинус \angle A конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби .$ Поэтому $AC больше AN=5NQ,$ что и требовалось доказать.

б)  Пусть x  — радиус второй окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHQ:$

По теореме Пифагора $OH в квадрате плюс QH в квадрате =OQ в квадрате ,$ откуда:

$левая круглая скобка 12 минус 5x правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 2,5 минус x правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 2,5 плюс x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 25x в квадрате минус 130x плюс 144=0 равносильно совокупность выражений новая строка x=1,6 , новая строка x=3,6. конец совокупности .$ $левая круглая скобка 12 минус 5x правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 2,5 минус x правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 2,5 плюс x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 25x в квадрате минус 130x плюс 144=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x=1,6 , новая строка x=3,6. конец совокупности .$

Условию $12 минус 5x больше 0$ удовлетворяет только $x = 1,6.$

Ответ: 1,6.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: 1,6.

511581

1,6.

Методы геометрии: Тригонометрия в геометрии

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Вписанные окружности

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511581	1,6.