РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 511557 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка \dfrac2x плюс \dfrac3x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 0.$

Решение. Преобразуем неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка дробь: числитель: 2x плюс 3, знаменатель: x в квадрате конец дроби меньше или равно 0 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 1.$

Рассмотрим два случая. Первый случай: $x в квадрате больше 1.$

$логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно 0 меньше 2x плюс 3 меньше или равно x в квадрате равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x в квадрате минус 2x минус 3 больше или равно 0, новая строка 2x плюс 3 больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка 2x плюс 3 больше 0. конец системы .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно 0 меньше 2x плюс 3 меньше или равно x в квадрате равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x в квадрате минус 2x минус 3 больше или равно 0, новая строка 2x плюс 3 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка 2x плюс 3 больше 0. конец системы .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно 0 меньше 2x плюс 3 меньше или равно x в квадрате равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x в квадрате минус 2x минус 3 больше или равно 0, новая строка 2x плюс 3 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка 2x плюс 3 больше 0. конец системы .$

Откуда, учитывая условие $x в квадрате больше 1,$ получаем: $минус 1,5 меньше x меньше минус 1$ или $x больше или равно 3.$

Второй случай: $0 меньше x в квадрате меньше 1.$

$логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно 2x плюс 3 больше или равно x в квадрате равносильно x в квадрате минус 2x минус 3 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно минус 1 меньше или равно x меньше или равно 3.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно 2x плюс 3 больше или равно x в квадрате равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 2x минус 3 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно минус 1 меньше или равно x меньше или равно 3.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно 2x плюс 3 больше или равно x в квадрате равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 2x минус 3 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус 1 меньше или равно x меньше или равно 3.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно 2x плюс 3 больше или равно x в квадрате равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 2x минус 3 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус 1 меньше или равно x меньше или равно 3.$

Итак, учитывая условие $0 меньше x в квадрате меньше 1,$ получаем: $минус 1 меньше x меньше 0$ или $0 меньше x меньше 1.$

Множество решений неравенства: $левая круглая скобка минус 1,5; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 1,5; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

511557

$левая круглая скобка минус 1,5; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511557	$левая круглая скобка минус 1,5; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$