РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 511495 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Показательные выражения и иррациональности

Решите неравенство: $левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 в степени x минус 6 корень из: начало аргумента: 2 в степени x конец аргумента плюс 8 конец аргумента больше или равно 0.$

Решение. Найдём, при каких значениях x подкоренное выражение неотрицательно. Пусть $корень из: начало аргумента: 2 в степени x конец аргумента =t:$

$t в квадрате минус 6t плюс 8 больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка t меньше или равно 2, новая строка t больше или равно 4. конец совокупности$ $t в квадрате минус 6t плюс 8 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка t меньше или равно 2, новая строка t больше или равно 4. конец совокупности$

Тогда

$совокупность выражений новая строка корень из: начало аргумента: 2 в степени x конец аргумента меньше или равно 2, новая строка корень из: начало аргумента: 2 в степени x конец аргумента больше или равно 4 конец совокупности равносильно совокупность выражений новая строка 2 в степени x меньше или равно 4, новая строка 2 в степени x больше или равно 16 конец совокупности равносильно совокупность выражений новая строка x меньше или равно 2, новая строка x больше или равно 4. конец совокупности$

Тем самым, область определения неравенства: $левая круглая скобка минус бесконечность ;2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Тогда:

$левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 в степени x минус 6 корень из: начало аргумента: 2 в степени x конец аргумента плюс 8 конец аргумента больше или равно 0\Rightarrow совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 1\geqslant0, 2 в степени x минус 6 корень из: начало аргумента: 2 в степени x конец аргумента плюс 8=0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 в степени д робь: числитель: x минус 3, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 1, 2 в степени x =4, новая строка 2 в степени x =16 конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: 2 конец дроби \geqslant0, x=2, новая строка x=4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x\geqslant3, новая строка x=2, новая строка x=4. конец совокупности .$ $левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 в степени x минус 6 корень из: начало аргумента: 2 в степени x конец аргумента плюс 8 конец аргумента больше или равно 0\Rightarrow$
$\Rightarrow совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 1\geqslant0, 2 в степени x минус 6 корень из: начало аргумента: 2 в степени x конец аргумента плюс 8=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2 в степени д робь: числитель: x минус 3, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 1, 2 в степени x =4, новая строка 2 в степени x =16 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: 2 конец дроби \geqslant0, x=2, новая строка x=4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x\geqslant3, новая строка x=2, новая строка x=4. конец совокупности .$ $левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 в степени x минус 6 корень из: начало аргумента: 2 в степени x конец аргумента плюс 8 конец аргумента больше или равно 0\Rightarrow$
$\Rightarrow совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 1\geqslant0, 2 в степени x минус 6 корень из: начало аргумента: 2 в степени x конец аргумента плюс 8=0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 в степени д робь: числитель: x минус 3, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 1, 2 в степени x =4, новая строка 2 в степени x =16 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: 2 конец дроби \geqslant0, x=2, новая строка x=4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x\geqslant3, новая строка x=2, новая строка x=4. конец совокупности .$

Таким образом, с учетом ОДЗ, решение исходного неравенства: $левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

511495

$левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511495	$левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$