В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC, у которого угол C равен 90°, угол A равен 30°, 
Диагональ боковой грани B1C составляет угол 30° с плоскостью AA1B1.
а) Отрезок CE — высота треугольника 
Докажите, что угол 
— прямой.
б) Найдите высоту призмы.
Решение. а) Введём обозначения, как показано на рисунке. CE − перпендикуляр к плоскости
поэтому, по определению, CE перпендикулярен всем прямым в этой плоскости, в том числе и прямой 
б) По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на плоскость. 
— проекция прямой 
на плоскость 
следовательно, угол 
— угол между наклонной 
и плоскостью значит, этот угол равен 30°. Из прямоугольного треугольника 
Углы BAC и BCE равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Из прямоугольного треугольника BEC находим:
Обозначим искомое расстояние 
Из прямоугольного треугольника 
по теореме Пифагора: 
Из прямоугольного треугольника 
по теореме Пифагора: 
Рассмотрим треугольник 
по теореме косинусов:
По смыслу задачи подходит только корень 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |