РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 511469 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены, Использование симметрий, оценок, монотонности, Использование симметрий, оценок, монотонности

Задача с параметром. Использование монотонности, оценок

Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$синус левая круглая скобка x плюс 4a правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате минус 6x минус 7a, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =4x минус x в квадрате минус a$

не имеет действительных решений.

Решение. Пусть $y= дробь: числитель: x в квадрате минус 6x минус 7a, знаменатель: 2 конец дроби ,$ тогда $x в квадрате =2y плюс 6x плюс 7a,$ и уравнение принимает вид

$синус левая круглая скобка x плюс 4a правая круглая скобка плюс синус y=4x минус левая круглая скобка 2y плюс 6x плюс 7a правая круглая скобка минус a равносильно 2y плюс синус y = 2 левая круглая скобка минус 4a минус x правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка минус x минус 4a правая круглая скобка .$ $синус левая круглая скобка x плюс 4a правая круглая скобка плюс синус y=4x минус левая круглая скобка 2y плюс 6x плюс 7a правая круглая скобка минус a равносильно$
$равносильно 2y плюс синус y = 2 левая круглая скобка минус 4a минус x правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка минус x минус 4a правая круглая скобка .$

Заметим, что уравнение имеет вид $f левая круглая скобка y правая круглая скобка =f левая круглая скобка минус 4a минус x правая круглая скобка$ для $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =2t плюс синус t.$ Производная $f' левая круглая скобка t правая круглая скобка =2 плюс косинус t$ положительна при всех t, поэтому функция $f левая круглая скобка t правая круглая скобка$ возрастает на всей числовой прямой. Тогда уравнение $f левая круглая скобка минус 4a минус x правая круглая скобка =f левая круглая скобка y правая круглая скобка$ равносильно уравнению $минус 4a минус x=y.$

Вернемся к исходной переменной:

$минус 4a минус x= дробь: числитель: x в квадрате минус 6x минус 7a, знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 8a минус 2x=x в квадрате минус 6x минус 7a равносильно x в квадрате минус 4x плюс a=0.$

Полученное уравнение, а вместе с них и исходное, не имеет действительных решений, если его дискриминант отрицателен, откуда $a больше 4.$

Ответ: $a больше 4.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки.	3
Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решении условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных ответов потеряна.	2
Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика функции в целом.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: $a больше 4.$

511469

$a больше 4.$

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром, Уравнения смешанного типа

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511469	$a больше 4.$