PDF-версии: 
Решите в натуральных числах уравнение 
Примечание.
Для натурального n символом 
обозначается произведение 
Решение. Ясно, что 
то есть должно делиться на 
В случае n = 1, правая часть равна 0, чего быть не может.
При n = 2, получим 
Это означает, что 
четно, что возможно только при нечетном k, а 
что возможно только при четном k. Получили противоречие.
Таким образом, 
а число 
не имеет простых делителей, меньших чем 3. Тогда делится на 3, поэтому в равенстве 
правая часть делится на 3. Тогда и левая часть тоже делится на 3. Значит, n делится на 3. Пусть 
где 
Тогда после деления на 3 данное уравнение принимает вид:
Левая часть делится на 3, правая не делится — противоречие. Осталось рассмотреть случай 
уравнение принимает вид 
Ясно, что 
не удовлетворяет полученному равенству, а при 
обе части равны 21. Остаётся доказать, что бо́льших подходящих значений k нет. Рассмотрим последовательность 
и разность 
При 
разность положительна, следовательно, последовательность возрастает. Значит, если 
то 
а поэтому 
— единственное решение.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обосновано получен верный ответ. | 4 |
Обосновано найдено верное значение  подбором найдено  однако доказательство отсутствия бо́льших значений  отсутствует или содержит ошибку. | 3 |
Обосновано найдено верное значение однако значение не найдено, найдено неверно или ответ содержит лишь значения  | 2 |
Имеется верный ответ, найденный подбором или с помощью неполных рассуждений. Обоснование единствнности  отсутствует, пириведено неполностью или содержит ошибку. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |