PDF-версии: 
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра: 
а) Докажите, что 
б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины рёбер AS и 
Решение. а) Проекцией точки S на плоскость основания является точка O - центр основания пирамиды. На прямой AO лежит высота треугольника ABC, поэтому
Таким образом, по теореме о трех перпендикулярах,
б) Пусть M и N — середины рёбер AS и BC соответственно. Прямая AS проектируется на плоскость основания в прямую 
Поэтому проекция точки M — точка 
— лежит на отрезке Значит, прямая AN является проекцией прямой MN, следовательно, угол 
— искомый. Заметим, что 
где O — центр основания, значит, 
— средняя линия треугольника ASO, а поэтому — середина 
Тогда 
и 
Из прямоугольного треугольника 
находим:
Из прямоугольного треугольника 
находим: 
Значит, искомый угол равен 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |