РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 511447 Добавить в вариант

Классификатор стереометрии: Правильная треугольная пирамида, Сечение  — треугольник, Сечение, проходящее через три точки

Стереометрическая задача. Сечения пирамид

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM  — биссектриса угла SAC.

а)  Докажите, что $AM=AB.$

б)  Площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B, равна $5 корень из 3 .$ Найдите сторону основания.

Решение. а)  Рассмотрим треугольник ASC. Он равнобедренный, и $\angle SAC=\angle SCA = 72 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Значит, $\angle MAC = 36 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Рассмотрим теперь треугольник CAM. Сумма его углов 180°, значит, $\angle AMC =72 градусов.$ Следовательно, треугольник CAM равнобедренный, и поэтому AC=AM=AB.

б)  Нужное сечение  — треугольник AMB. Аналогично пункту а) находим, что BM  =  BC. Таким образом, треугольник AMB равносторонний, и его сторона AB одновременно является стороной основания. По условию составим уравнение $дробь: числитель: AB в квадрате корень из 3 , знаменатель: 4 конец дроби =5 корень из 3 ,$ откуда $AB= корень из: начало аргумента: 20 конец аргумента .$

Ответ: $корень из: начало аргумента: 20 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: $корень из: начало аргумента: 20 конец аргумента .$

511447

$корень из: начало аргумента: 20 конец аргумента .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511447	$корень из: начало аргумента: 20 конец аргумента .$