РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 511438 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Логарифмы и показательные выражения

Решите неравенство $2x логарифм по основанию 3 6 плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4 в степени x минус 2 правая круглая скобка \leqslant2x плюс 1.$

Решение. Воспользуемся свойствами логарифмов:

$2x логарифм по основанию 3 6 плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4 в степени x минус 2 правая круглая скобка \leqslant2x плюс 1 равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 6 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4 в степени x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 3 3 в степени левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно система выражений новая строка 4 в степени x минус 2 больше 0, новая строка 6 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4 в степени x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка . конец системы$

Решим второе неравенство полученной системы:

$6 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4 в степени x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка равносильно 4 в степени x левая круглая скобка 4 в степени x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 3 равносильно 16 в степени x минус 2 умножить на 4 в степени x минус 3 \leqslant0.$

Пусть $4 в степени x =y,$ тогда имеем:

$y в квадрате минус 2y минус 3 меньше или равно 0 равносильно минус 1 меньше или равно y меньше или равно 3.$

Откуда, учитывая первое неравенство системы, получаем:

$2 меньше 4 в степени x меньше или равно 3 равносильно 0,5 меньше x меньше или равно логарифм по основанию 4 3.$

Ответ: $левая круглая скобка 0,5; логарифм по основанию 4 3 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2