РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д18 C7 № 511436 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Найдите все тройки натуральных чисел k, m и n, удовлетворяющие уравнению $3 умножить на k!=m! минус 3 умножить на n!$

Решение. 1.  Так как $m!=3 умножить на k! плюс 3 умножить на n!,$ то $n меньше m$ и $k меньше m.$

2.  Пусть $n больше или равно k,$ тогда $6 умножить на n! больше или равно 3 умножить на k! плюс 3 умножить на n!=m! больше или равно левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка умножить на n!,$ откуда $6 больше или равно n плюс 1$ и $k меньше или равно n меньше или равно 5.$

3.  Пусть $n меньше k,$ тогда $6 умножить на k! больше или равно 3 умножить на k! плюс 3 умножить на n!=m! больше или равно левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка умножить на k!,$ откуда $6 больше или равно k плюс 1$ и $n меньше или равно k меньше или равно 5.$

4.  Далее конечным перебором значений $1 меньше или равно n меньше или равно 5,1 меньше или равно k меньше или равно 5$ находим все решения:

Можно заметить, что это уравнение симметрично отн. значений n и k и мы можем перебрать меньше вариантов.

n	k	$m!=3 умножить на k! плюс 3 умножить на n!$	m
5	5	$720$	6
5	4	$432$	нет решений
5	3	$378$	нет решений
5	2	$366$	нет решений
5	1	$363$	нет решений
4	4	$144$	нет решений
4	3	$90$	нет решений
4	2	$78$	нет решений
4	1	$75$	нет решений
3	3	$36$	нет решений
3	2	$24$	4
3	1	$21$	нет решений
2	2	$12$	нет решений
2	1	$9$	нет решений
1	1	$6$	3

Ответ: $k=3,n=2,m=4; k=2,n=3,m=$
$=4;k=n=5 ,m=6;k=n=1,m=3.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обосновано получен верный ответ.	4
Ответ правилен, и конечность перебора обоснована. Однако, при переборе допущены арифметические ошибки или пробелы.	3
Ответ правилен и получен конечным перебором. Однако, конечность перебора не обоснована.	2
Приведён хотя бы один из правильных наборов, и проверено, что при подстановке в уравнение получается верное числовое неравенство.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Ответ: $k=3,n=2,m=4; k=2,n=3,m=$
$=4;k=n=5 ,m=6;k=n=1,m=3.$

511436

$k=3,n=2,m=4; k=2,n=3,m=$
$=4;k=n=5 ,m=6;k=n=1,m=3.$

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511436	$k=3,n=2,m=4; k=2,n=3,m=$ $=4;k=n=5 ,m=6;k=n=1,m=3.$