PDF-версии: 
Медианы АА1 и ВВ1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и С2 — середины отрезков MA, MB и МС соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ = 6, ВС = 11 и АС = 12.
Решение. а) Площадь треугольника А1МВ2 в два раза меньше площади треугольника А1МВ, поскольку MB = 2MB2, а высота, проведённая из вершины А1 у этих треугольников общая: SA1MB = 2SA1MB2.
Аналогично получаем еще 5 равенств:
Складывая эти равенства почленно, получаем 
б) Обозначим длины сторон ВС, АС, АВ треугольника ABC через а, b, с.
Докажем, что квадрат медианы AA1 равен 
Для доказательства на продолжении отрезка AA1 за точку А1 отложим отрезок А1Р = AA1. Получим параллелограмм АСРВ со сторонами АС = РВ = b и АВ = CP = с и диагоналями ВС& а и АР = 2AA1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:
Аналогично доказывается, что 
a 
Отрезок C1A2 — средняя линия треугольника АВМ, значит,
Рассуждая аналогично, мы получим, что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника ABC: 
Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна
Подставляя в эту формулу длины сторон треугольника ABC, получаем ответ: сумма квадратов сторон шестиугольника равна 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |